Фамилия Саани — редкий случай, когда географический корень почти полностью вытесняет привычную русскую модель образования. В ней нет суффиксов -ов, -ин, -ский, которые обычно указывают на принадлежность («чей?»). Основа Саан- звучит как топоним, и почти наверняка фамилия происходит от названия места.

Самое вероятное объяснение — связь с эстонским или финским географическим названием Saaremaa (Сааремаа). В эстонском языке «саар» (saar) означает «остров», а «маа» — земля. Саани могло возникнуть как сокращённое обозначение выходца с острова Сааремаа, то есть «сааремаанец». В русском языке такое прозвище могли записать на слух как «Саани», отбросив конечное «maa». Подобная модель встречается у балтийских и финских фамилий, где основой служит название острова или местности.

Вторая возможная версия — ингушское или чеченское происхождение. В вайнахских языках есть имя Саани или Саан, которое может быть вариантом арабского «Сани» (второй) или иметь местные корни. В таком случае фамилия образована напрямую от имени предка, без дополнительных суффиксов — это характерно для фамилий народов Северного Кавказа, где патроним часто совпадает с именем отца.

Словообразовательная модель Саани уникальна для русской ономастики. Суффикса нет, окончание -и указывает на множественное число или родительный падеж, но в данном случае это, скорее, фиксация иноязычной основы без переработки. Фамилия не склоняется по падежам как типичная русская, что подтверждает её нерусское происхождение.

Если ваши предки жили в Прибалтике или на Северо-Западе России, особенно в окрестностях Пскова или Ленинградской области, — версия с эстонским корнем наиболее правдоподобна. Если же корни ведут на Кавказ, стоит искать в ингушских или чеченских родословных. Третья, маловероятная гипотеза — связь с финским словом saani (сани, воз), но она не подтверждается ономастическими данными: прозвищ «Саани» в значении «сани» в русских говорах не зафиксировано.