Фамилия Саливанов стоит в ряду тех, что образованы от канонического имени, но с неожиданным поворотом в суффиксе. Основа здесь — крестильное имя Селиван (от латинского Silvanus — «лесной», бог лесов в римской мифологии). В народном произношении имя часто «акало»: безударное «е» переходило в «а», отсюда и форма Саливан. Казалось бы, логично ожидать фамилию Селиванов, и она действительно существует и очень распространена. Но Саливанов — не опечатка и не редкий вариант, а результат закрепления в документах именно того звучания, которое было у носителя в быту. Фонетический принцип написания (как слышится, так и пишется) в XVII–XVIII веках работал сильнее, чем сейчас, особенно в среде малограмотных писцов.

Суффикс -ов указывает на прямое отчество: Саливанов сын. Это типичная модель для русского крестьянства и служилых людей, где фамилия закреплялась как притяжательное прилагательное. Интересно, что церковная форма имени (Силуан, Селиван) дала фамилию Силуанов, а народная — Селиванов и, реже, Саливанов. Географически Саливановы встречаются не повсеместно, а скорее локально — в областях, где «аканье» было особенно сильным: в южнорусских губерниях (Рязанская, Тамбовская, Орловская) и на Средней Волге. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды, где имя произносили на «а» и где это произношение успело попасть в перепись или метрику до того, как орфография стала строже.

С этимологической точки зрения версия о связи с латинским salivа (слюна) или французским salive — это народная этимология, не имеющая под собой оснований. Ни одно прозвище от слюны не дало бы такой массовой фамилии, да и суффикс -ан- для таких прозвищ нехарактерен. Так что Саливанов — это просто «акающий» Селиванов, потомок человека по имени Селиван, и никакой «слюны» в фамилии нет.