Фамилия Сарыевский — редкий случай в русской ономастике, где топонимическая модель столкнулась с тюркским корнем. Суффикс -ск-ий указывает на происхождение от географического названия: так обычно оформляли фамилии дворян и духовенства по месту владения или службы. Но основа «Сары-» почти наверняка восходит к тюркскому слову «сары» — «жёлтый». В топонимике Поволжья, Приуралья и Казахстана таких названий десятки: река Сарысу, село Сары, озеро Сарыколь. Значит, предок носителя фамилии мог получить её по названию населённого пункта Сарыево или Сарыевка — типичного для татарских, башкирских или казахских земель.

Вторая версия, менее вероятная, — что фамилия образована от прозвища Сарый (жёлтый, светловолосый) с помощью патронимического суффикса -ев и последующей адъективации через -ский. Но для русского просторечия такая цепочка «прозвище → Сарыев → Сарыевский» — редкость, обычно обходились без лишнего суффикса. Поэтому версия с топонимом убедительнее.

Сословно Сарыевские могли быть либо потомками служилых людей (мелкопоместных дворян, получивших фамилию по деревне), либо выходцами из духовенства — семинаристы часто брали фамилии по названиям сёл, где служили их отцы. В любом случае, фамилия — маркер юго-восточных регионов России, где тюркские и славянские языки веками переплетались: Самарская, Оренбургская, Уфимская губернии, земли оренбургских казаков.

В написании возможна путаница с Сарычевский, Сарыев, Сарыгин — но Сарыевский выделяется именно своим «длинным» суффиксом, который в XIX веке часто давали для придания фамилии «благородного» звучания. Если ваши предки носили её до революции, стоит искать их в метрических книгах именно тех сёл, где в названии фигурирует корень «сары».