Фамилия Сасуны — редкий случай, когда географическая привязка важнее морфологии. Если отбросить суффикс -ы, который в русских фамилиях встречается нечасто, основа «Сасуны» почти наверняка указывает на выходцев из армянского города и области Сасун (историческая провинция на юго-востоке современной Турции). Такая модель образования типична для фамилий, которые фиксировали не прозвище, а место, откуда человек пришёл: «сасунец» → «Сасуны». Суффикс -ы в данном случае — это окончание множественного числа в родительном падеже (из Сасунов), которое застыло в фамилии и характерно для западнорусских и украинских земель, а также для фамилий, возникших в среде переселенцев.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от личного прозвища «Сасун» или «Сасуня». В этом случае суффикс -ы работал бы как патронимический, указывая на принадлежность к роду человека по прозвищу. Однако слово «сасун» не имеет устойчивого значения в русских говорах. В некоторых диалектах «сасун» могло означать «задира», «драчун» (от глагола «сасунить» — бить, колотить), но эта гипотеза слабее географической: армянский топоним Сасун слишком известен в истории (Сасунское восстание, эпос «Сасунцы»), чтобы его игнорировать.

По суффиксу фамилия Сасуны стоит в одном ряду с такими фамилиями, как Бараны, Козлы, Вороны, — но в отличие от них, где основа — животное или предмет, здесь основа — этноним или топоним. Фамилия почти не встречается в центральных областях России; её носители, скорее всего, сосредоточены на юге (Кубань, Ростовская область) или в среде армянской диаспоры, где фамилии на -ы не редкость.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Сасуны, они, вероятнее всего, происходили из армянского Сасуна или имели прямую связь с этой областью. Фамилия — не прозвище, а метка переселенца, которая закрепилась за родом.