Фамилия Сатяева — женская форма, мужской вариант — Сатяев. Её основа — прозвище или нецерковное имя Сатяй. Чтобы понять, откуда оно взялось, нужно разобрать слово по косточкам.

Корень здесь — «сат-». В русских говорах у него несколько значений. Самое вероятное: «сатый» — то есть сытый, упитанный, находящийся в достатке. В старину так могли прозвать зажиточного крестьянина или просто человека плотного телосложения. В некоторых диалектах «сатый» означало ещё и «довольный, благополучный». Прозвище Сатяй — человек, к которому пристало это слово, — стало основой для фамилии.

Суффикс «-яй» типичен для русских прозвищных имён (сравните: Бродяй, Гуляй, Лентяй). Он придаёт оттенок действия или свойства: Сатяй — тот, кто «сат» (сыт, доволен). Модель образования фамилии — притяжательная: Сатяев — сын Сатяя. Суффикс «-ев» указывает на принадлежность к роду.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими корнями. В татарском и башкирском есть слово «сат» — «продавать». Тогда Сатяй могло быть прозвищем торговца или человека, связанного с куплей-продажей. Однако эта версия слабее: суффикс «-яй» нехарактерен для тюркских прозвищ в русской адаптации, а в документах фамилия Сатяевы встречается преимущественно в русских, а не татарских регионах.

Географически фамилия редкая. Основной ареал — центральные области России, особенно Владимирская и Нижегородская губернии. Там «сатый» в значении «сытый» было в ходу. Встречаются Сатяевы и в Поволжье, но уже как возможный результат смешения с местными говорами.

Сословно фамилия, скорее всего, крестьянская или однодворческая. Дворянских родов Сатяевых в «Бархатной книге» и «Общем гербовнике» нет. Это фамилия, которая родилась в деревне, в среде, где прозвища давали по внешности или достатку.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) прямо Сатяев не разбирается, но модель «прозвище на -яй + -ев» описана подробно. Если сравнивать с однокоренными — Сатин, Сатов, — то у них та же основа «сат-» в значении «сытый». Сатяев стоит в этом ряду как более редкий вариант с уменьшительно-прозвищным суффиксом.