Фамилия Саяты — хороший пример того, как необычное окончание может сбить с толку. На слух она кажется то ли множественным числом, то ли тюркским заимствованием. На деле всё проще: это классическая русская фамилия, образованная по модели «Саят + -ов», но в бытовой речи закрепившаяся в форме именительного падежа множественного числа. То есть первоначально предка звали Саят (или Саята), а его потомков — «Саяты» (семья Саятов). В документах XIX — начала XX века такую форму часто записывали как фамилию без изменений: «крестьянин Иван Саяты», «деревня Саяты». Это региональная особенность северных и сибирских говоров, где фамилии на -ов/-ев нередко склоняли в быту, а писарь фиксировал услышанное.

Основа фамилии — личное имя Саят. В русском контексте это, скорее всего, уменьшительная форма от канонического имени Савватий (через народное Савватей → Савят → Саят). Савватий в переводе с древнееврейского означает «субботний», «покойный» — имя носил один из соловецких святых. Такое стяжение (отпадение слогов) типично для северных и поморских говоров, где имя Савватий превращалось в Савватей, а затем в Саят. Встречается и другой путь: от тюркского имени Саят (с ударением на последний слог), что значит «дар», «подарок» — но в исконно русских фамилиях это редкость и обычно указывает на смешанное происхождение рода.

Географически фамилия Саяты привязана к Русскому Северу и Сибири. В переписных книгах XVII века такая форма встречается в Архангельской и Вологодской губерниях, а также у старообрядцев, переселившихся в Забайкалье. Суффикса -ов/-ев в официальной записи нет — это и есть та самая «застывшая» форма множественного числа, которая у других фамилий со временем исчезла (сравните: были «Ивановы», а не «Ивановы» в речи, но писали всегда с -ов). Саяты — один из немногих живых примеров, когда устная традиция победила письменную.

Сословно носители фамилии в основном были государственными крестьянами и мещанами. Дворянских родов Саяты не зафиксировано — это фамилия простого люда, вышедшая из деревенского прозвища или домашнего имени. Если ваши предки — Саяты, скорее всего, они жили на севере или в Сибири, а корень фамилии восходит к имени Савватий, которое в народе сократили до трёх букв.