Фамилия Щеилкина — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить окончание -а, указывающее на женскую форму, то в основе лежит мужская фамилия Щеилкин. Её разбор сразу ставит вопрос: что такое «Щеилк-»? В русской ономастике это почти наверняка вариант написания или произношения более известной фамилии Щелкин (или Щёлкин). Дело в том, что в диалектах и при неграмотной записи фамилий в XIX веке звук «ё» часто заменяли на «е», а сочетание «ел» могло упроститься до «ил» на слух. Так Щёлкин превращался в Щелкин, а затем, при слабой фиксации, и в Щеилкин.

Корень здесь — «щелк-» или «щёлк-». В русских говорах «щёлка» — это не только звук, но и трещина, расщелина, ущелье, а также прозвище худого, щуплого человека. В. И. Даль фиксирует слово «щёлк» в значении «промежуток, щель». Таким образом, прозвище Щёлка (Щелка) могли дать либо по месту жительства — у оврага или расщелины, либо по внешности: очень худой, «щепетильный». Суффикс -ин указывает на принадлежность: Щеилкин — «сын Щеилки», то есть потомок человека по прозвищу Щёлка.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «щелкать» (семечки, орехи). В этом случае прозвище Щелка мог получить любитель этого занятия или, в переносном смысле, бойкий, «щелкающий» языком человек. Однако географическая привязка фамилии Щеилкина (если судить по современным редким записям) тянет к северным и центральным регионам России, где форма «щёлка» в значении «трещина» была распространена шире, чем южные говоры.

По сословной принадлежности носители фамилии Щеилкины, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Фамилия недворянская, образована по простой модели «прозвище + -ин», что типично для непривилегированных слоёв в XVI–XVII веках. Встречаемость её крайне низкая, что говорит о локальном происхождении — возможно, от одного конкретного рода из одной деревни или волости, где прозвище закрепилось и не распространилось широко.

Итог: фамилия Щеилкина — это искажённая форма от Щёлкин, образованная от прозвища Щёлка (худой человек или житель ущелья). Редкость написания с «и» — не ошибка, а живое свидетельство того, как звучала фамилия в конкретной местности и как её записал чиновник или священник на слух.