Фамилия Шерметинская — редкий случай, когда географическая привязка бросается в глаза сильнее, чем разбор корня. Форма на -ский/-ская в сочетании с основой «Шерметин-» почти наверняка указывает на происхождение от топонима: названия села, деревни или усадьбы, вроде Шерметино или Шерметин. Такие фамилии в XIX веке часто получали дворяне по названию своего поместья, а также духовенство и выходцы из мещан, менявшие фамилию при переезде в город или при поступлении в семинарию.

Корень «Шермет» — тюркского происхождения. В татарском и башкирском языках «шермет» или «шәрмәт» означает «стыд», «позор», но это могло быть и личным именем-оберегом: родители нарекали ребёнка таким именем, чтобы отвести от него сглаз и беды. В русской ономастике фамилии с основой Шермет- (Шерметев, Шерметов) известны с XVI–XVII веков, чаще всего у служилых татар, перешедших на русскую службу. Фамилия Шерметинская, скорее всего, более поздняя: её могли образовать от названия деревни Шерметино, где жили потомки тех самых Шерметевых или Шерметовых.

Не путайте с фамилией Шереметевых — это два разных корня. У Шереметевых основа восходит к тюркскому «шир-ахмет» (лев Ахмета), а Шерметинская — к более простому «шермет». Встречается фамилия в основном в центральных областях России и в Поволжье, что совпадает с зоной расселения татарских родов, обрусевших в XVI–XVIII веках. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть либо потомками мелкопоместных дворян, владевших сельцом Шерметино, либо священниками, получившими фамилию по названию прихода.