Фамилия Шляжас — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение почти наверняка не славянское, а литовское или польское. В основе лежит литовское слово šliažas или польское szlaz, что значит «ползун» или «пресмыкающийся». В переносном смысле так могли назвать человека медлительного, вялого или, наоборот, того, кто «ползёт» в делах — подхалима, льстеца. В польских говорах это слово также фиксировалось как прозвище для нерасторопного работника.

Окончание -ас — характерный литовский суффикс, который в русской записи часто остаётся почти без изменений. В Литве и на пограничных с ней территориях (современные Витебская, Гродненская области, а также бывшие земли Речи Посполитой) фамилии на -ас встречаются повсеместно. Шляжас могла возникнуть как прозвище, которое позже закрепилось в качестве фамилии без дополнительных русских суффиксов -ов или -ин. Это говорит о том, что носитель фамилии или его предки сохранили исходную литовскую форму, не русифицируя её при переходе в русскую среду.

В письменных источниках фамилия почти не встречается. Ономастические словари (например, работы В. Никонова или Б. Унбегауна) не упоминают её в основных перечнях — это указывает на очень узкую географию бытования. Скорее всего, фамилия сохранилась в нескольких семьях на северо-западе России или в Литве. Возможен и вариант, что Шляжас — это изменённая форма от более частой литовской фамилии Шляжа (Šliaža), где -с появилось под влиянием польской или белорусской записи.

Если искать аналоги в русских фамилиях, то по смыслу ближе всего Шляпников (от «шляться» — бродить, слоняться) или Ползунов. Но Шляжас стоит особняком: её корень не столько бытовой, сколько характеризующий, с оттенком насмешки. Для человека, носящего такую фамилию, это может быть ключом к давней семейной истории, уходящей корнями в литовские деревни, где прозвище давалось по поведению, а не по профессии.