Фамилия Синдицкая — довольно редкая и звучит не по-русски. Её основа, скорее всего, не славянская, а топонимическая, и связана она с конкретной географической точкой. Синдицкая — это вариант фамилии Синдицкий, только в женском роде, и образована она по типичной для шляхетских и духовных фамилий модели на -ский/-цкий. Такие фамилии в массе своей указывали на владение поместьем или происхождение из определённого места.

Корень здесь — «Синдиц-». Скорее всего, он восходит к названию населённого пункта Синдицы или Синдицк. Такие топонимы есть, например, в Беларуси и на Украине. Деревня Синдицы (или Синдичи) могла получить имя от прозвища или фамилии первопоселенца Синда, что, в свою очередь, ведёт к греческому мужскому имени Синд (от названия племени синдов, живших на Таманском полуострове). В этом случае фамилия — память о греческом влиянии в Причерноморье, которое через церковные книги и семинарии могло попасть в западные губернии Российской империи.

Есть и другая, более прозаичная версия: основа могла произойти от диалектного слова «синда» — так в некоторых южных говорах называли синицу или, реже, бойкую, вертлявую женщину. Тогда Синдицкий — это «тот, кто из рода Синды», то есть потомок человека с прозвищем Синда. Эта версия менее элегантна, но лингвистически возможна, если учесть, что суффикс -ицк- нередко присоединялся к личным прозвищам в польско-литовской традиции.

Ударение в фамилии, судя по аналогиям (как Смолицкая, Гордицкая), падает на второй слог: Синди́цкая. Встречаемость фамилии крайне низкая: она почти не фиксируется в современных московских телефонных справочниках и базах данных XIX века. Это говорит о том, что носители — либо потомки мелкой шляхты, которая после разделов Речи Посполитой растворилась в крестьянстве и мещанстве, либо выходцы из одного-двух конкретных сёл. Сословной принадлежности предков по одной фамилии не установить: «Синдицкие» могли быть и униатскими священниками, и обедневшими дворянами, и крестьянами, получившими фамилию по месту жительства.