Фамилия Склонний — редкая и неочевидная. Её основа и суффикс сразу наводят на мысль об искусственном, книжном происхождении, а не о крестьянском прозвище.

Первое, что бросается в глаза, — окончание -ий. В русских фамилиях такая форма типична для прилагательных: Толстой, Благой, а также для фамилий на -ский/-цкий (Троицкий, Знаменский). Но здесь нет суффикса -ск-, а есть просто -ий, что встречается реже. Чаще всего так оформляли фамилии в духовном сословии, особенно в малороссийских (украинских) и белорусских землях, где под влиянием польского языка фамилии-прилагательные давали в мужском роде с окончанием -ий: Скоропадский, Кочубеевский.

Корень «склон-» легко соотносится со словом «склон» (пологий спуск, откос) или с глаголом «склонять» (наклонять, а также изменять по падежам). Отсюда две версии.

Первая — топонимическая. Носитель фамилии мог получить её по названию места: село, урочище или хутор, расположенные на склоне. В таком случае Склонний — это «тот, кто живёт на склоне». Но прямых географических названий «Склонное» в старых документах почти нет, что делает эту версию возможной, но слабо подтверждённой.

Вторая — семинарская. Фамилии, образованные от отвлечённых понятий, были популярны в духовных училищах. Семинаристам давали фамилии по латинским или греческим корням, по названиям церковных праздников, а также по чертам характера или поведения. «Склонний» могло означать «склонный к чему-либо» — например, к наукам, к добру или, наоборот, к порокам. В таком случае это не прозвище по месту жительства, а характеристика, данная ученику преподавателем или взятая из церковнославянского языка. На юге Российской империи, в Киевской и Черниговской губерниях, такие фамилии на -ий встречались особенно часто.

Третья, маловероятная версия — от польского skłonny (склонный, готовый). Если предки были поляками или жили на западе Беларуси, фамилия могла быть адаптирована в русское написание.

Фамилия очень редкая. В современных базах данных она почти не встречается, что подтверждает её искусственное происхождение: такие фамилии давались единичным семьям и не распространялись массово. Скорее всего, первый носитель — выпускник духовной семинарии или человек, получивший фамилию при переписи в XIX веке от чиновника, который образовал её от нарицательного слова.

Итог: фамилия Склонний, вероятнее всего, семинарского происхождения и означает «склонный», «расположенный к чему-либо». Топонимическая версия («живущий на склоне») менее убедительна из-за отсутствия соответствующих названий населённых пунктов.