Фамилия Сурхоев — редкий случай, когда основа почти не оставляет сомнений в своём происхождении, но при этом почти не встречается в центральной России. Её ядро — «сурх» — отчётливо указывает на тюркские или иранские языки. В осетинском, например, «сурх» означает «красный». В ряде тюркских наречий то же слово имеет значение «рыжий» или «бурый». Таким образом, прозвище Сурхой, лёгшее в основу фамилии, скорее всего, дали человеку с ярко-рыжими волосами или, реже, с красноватым оттенком кожи. Суффикс -ев — стандартный русский патронимический формант, указывающий на принадлежность («чей?» — Сурхоев, то есть сын Сурхоя).

География фамилии показательна. Основная масса носителей сосредоточена на Северном Кавказе, особенно в Ингушетии и Чечне. Это не случайно: в ингушском и чеченском языках «цIе» (красный) передаётся иначе, но фамилия могла быть заимствована из осетинского или кумыкского языков в процессе межэтнических контактов. Встречаются Сурхоевы и среди осетин, что подтверждает версию о красном/рыжем цвете как основном признаке.

Обратите внимание на словообразовательную модель. Фамилия образована от полного прозвища, а не от крестильного имени. Это значит, что предок Сурхоев получил своё прозвище не по отцу, а по личной примете — яркой внешности. В отличие от фамилий на -ов/-ев от имён (Иванов, Петров), здесь мы имеем дело с прозвищной основой, что типично для поздних (XVI–XVII веков) фамилий окраинных регионов, где фамилии часто закреплялись уже после вхождения в состав Российской империи.

Родственные фамилии — Сурхаев, Сурхов, Сурханов — встречаются у кумыков и аварцев, что подтверждает общий тюрко-кавказский ареал. В русской среде эта фамилия практически не фиксируется, что делает её ярким маркером северокавказского происхождения. Если вы ищете информацию о сословии предков-Сурхоевых, то с высокой вероятностью это были свободные горцы, а не крепостные крестьяне — в горах Кавказа крепостного права в его классическом русском виде не существовало.