Фамилия Сябина — женская форма, а её мужской вариант — Сябин. С точки зрения словообразования это типичная «патронимическая» фамилия: она образована с помощью суффикса -ин, который в русской традиции указывал на принадлежность. Сябин — значит «сын Сябы» или «человек из рода Сябы». Вопрос упирается в прозвище или имя Сяба — что оно означало.

Самая вероятная версия связывает основу с глаголом «сябать» или «сябнуть». В северных и сибирских говорах это слово означало «хватать, цапать, брать без спросу». Сябой могли прозвать хваткого, цепкого человека, который умеет взять своё, а иногда — воришку или попрошайку. В словаре Даля «сябала» — это тот, кто хватает, цапает. Прозвище не обязательно было обидным: в крестьянской среде такие имена давали за характер или повадку, и они легко закреплялись в качестве фамилий.

Менее распространённая версия — от диалектного «сябр» (сосед, товарищ), которое встречается в белорусском и псковском говорах. Сяба в этом случае могло быть сокращённой формой от «сябр» или «сябра». Но здесь есть сложность: суффикс -ин обычно присоединяется к основам на -а, а «сябр» дал бы форму Сябров. Поэтому версия с «сябать» выглядит убедительнее.

Географически фамилия Сябина редкая и встречается точечно. Основные следы — в Вологодской, Архангельской областях и на Урале, то есть в зоне бытования севернорусских говоров, где слово «сябать» было в ходу. Если ваши предки оттуда, прозвище Сяба почти наверняка имело тот самый «хватательный» смысл.

С точки зрения социального статуса — это фамилия крестьянская. Суффикс -ин в русском языке чаще всего оформлял фамилии от прозвищ и имён, оканчивающихся на -а, -я, и такие фамилии редко встречались у дворянства. Сябины, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, а фамилию получили при переписях в XVIII–XIX веках.

Интересная деталь: фамилия Сябина не имеет аналогов в других славянских языках. Это чисто русское образование от местного диалектного корня. Если встретите однокоренные фамилии — Сябров, Сябрин — они, скорее всего, восходят к тому же «сябру», а не к «сябе».