Фамилия Тадеощук — редкий пример того, как польско-украинское личное имя получило характерный западноукраинский суффикс. В основе лежит имя Тадей (польск. Tadeusz, укр. Тадей), народная форма от арамейского Фаддей. В православной и католической традиции это имя связано с апостолом Иудой Фаддеем, но в быту у восточных славян оно почти не встречалось, а в Польше и на Западной Украине было распространено шире.

Суффикс -ук/-щук в украинской антропонимии означает «маленький» или «потомок»: Тадеощук — буквально «сын Тадея» или «внук Тадея». Форма с -ощ- (а не -ещ- или -ющ-) указывает на конкретный диалектный говор, скорее всего, из юго-западных районов Волыни или Подолья, где фамилии на -ощук и -ещук чередуются. Если бы фамилия возникла в центральной Украине, мы бы увидели Тадейчук или Тадеюк.

Интересная деталь: в русских документах XIX века фамилию могли записать как Тадеощуков — притяжательным прилагательным по московскому образцу. Но в исконном украинском варианте (Тадеощук) фамилия осталась без изменений по падежам, как и положено фамилиям на -ук. Носители фамилии — почти наверняка потомки крестьян или мещан из западных губерний Российской империи, где имя Тадей не было редкостью, но и не входило в первую сотню популярных.

Сравните с однокоренными: Тадейчук (более частый вариант), Тадеев (русская адаптация), Тадэощук (полонизированное написание). Ваша фамилия — самая компактная и диалектно точная из этого ряда: она сохранила и имя, и типично украинский патроним, и региональный говор в суффиксе.