Фамилия Тарнашинская — редкий случай, когда географический корень почти наверняка перевешивает прозвищный. Это женская форма фамилии Тарнашинский, и её основа — не имя и не профессия, а название места. За ней стоит топоним Тарнашин или Тарнашино. Такие сёла и хутора встречались на землях современной Украины и Беларуси, особенно в Волынской и Гродненской губерниях. Первый носитель фамилии, скорее всего, получил её по месту жительства: «Тарнашинский» — значит выходец из Тарнашина.

Суффикс -ский в этой фамилии — классический признак дворянского или шляхетского происхождения, хотя в XIX веке модель перешла и к крестьянам, и к мещанам. На Волыни и в Подляшье фамилии на -ский часто носили мелкопоместная шляхта, которая владела небольшими хуторами. Если ваш предок был Тарнашинским, он мог принадлежать к этой обедневшей служилой прослойке, которая держалась за свой клочок земли и фамилию, образованную от названия усадьбы.

Сам топоним Тарнашин, скорее всего, восходит к прозвищу Тарнаша или к личному имени Тарас в местном произношении. В западных говорах «тарнать» означало «медлить», «копаться», но маловероятно, что целое село назвали по такому свойству. Правдоподобнее связать корень с диалектным «терен» — тёрн: на месте вырубленных терновых кустов мог возникнуть хутор, который прозвали Тарнашином. В белорусском языке «тарнаваць» — «терзать», «драть», но для названия поселения это значение слишком узкое.

Обратите внимание на написание: в фамилии два «ш» — Тарнашинская, а не Тарнасинская. Это указывает на твёрдую основу Тарнаш-, которая могла быть искажением более древнего Тарнашевский или Тарнашев. Встречается и вариант Тарнашевская — он образован от той же основы, но с другим суффиксом. Если ваши предки писались через «е» (Тарнашевская), это может говорить о польском влиянии: в польском языке суффикс -евский (-ewski) встречается чаще, чем -инский.

Фамилия нечастотная, и её носительницы сегодня живут в основном в западных областях Украины, в Беларуси и среди потомков эмигрантов первой волны в Аргентине и Канаде. В России она почти не встречается — это дополнительный аргумент в пользу её западнорусского или польско-литовского корня.