Фамилия Тауриньш — латышская по происхождению, и это сразу снимает большинство догадок о её русских или иных корнях. В Латвии она встречается нечасто, но её основа прозрачна для балтийских языков. Тауриньш (Tauriņš) — это уменьшительная форма от слова «taurs», что означает «тур» (вымерший дикий бык). Буквально фамилию можно перевести как «бычок» или «телёнок тура». В латышском суффикс -iņš играет ту же роль, что русские -ок, -ик или -чик: он придаёт слову уменьшительно-ласкательный оттенок.

Скорее всего, фамилия образовалась от прозвища. В крестьянской среде, где фамилии в Латвии массово закрепились только в XIX веке (после отмены крепостного права в 1817–1819 годах), прозвища часто давали по внешности, характеру или поведению. Тауриньшем могли назвать человека крепкого, упрямого или, напротив, спокойного и медлительного — как молодого бычка. Другая версия менее вероятна, но возможна: прозвище могло относиться к человеку, который пас скот или жил в местности, где водились туры (хотя к тому времени они уже были истреблены в Прибалтике).

Модель образования фамилии — типичная для латышских фамилий с суффиксом -iņš. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые указывают на принадлежность отцу, латышские фамилии на -iņš часто сохраняют прямое прозвищное значение. В русском языке аналогом был бы «Турёнок» или «Бычков», но точного соответствия нет. Интересно, что в латышском языке слово «tauriņš» также означает «бабочка» (от tauriņš — мотылёк), но это омоним, связанный с другим корнем (taurēt — трубить, гудеть, откуда и «бабочка» как «порхающее создание»). Для фамилии основным значением остаётся именно «бычок»: в латышской антропонимике зооморфные прозвища от крупных животных встречаются чаще, чем от насекомых.

Географически фамилия Тауриньш рассеяна по всей Латвии, но чаще встречается в восточных регионах — Латгалии и Земгале, где исторически было больше хуторов и крестьянских дворов. В России и других странах бывшего СССР она редка и обычно принадлежит потомкам латышских переселенцев конца XIX — начала XX века. Известных носителей с этой фамилией, вошедших в общемировые энциклопедии, нет, что типично для фамилий, не вышедших за пределы локальной крестьянской среды.