Фамилия Тавьев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичного для русских фамилий корня, указывающего на профессию, внешность или имя отца. Чтобы понять её смысл, нужно разобрать суффикс и поискать возможную основу.

Суффикс -ев указывает на классическую модель русских фамилий, образованных от имени или прозвища отца: «чей?» — Тавьев, то есть сын Тавья. Вопрос упирается в то, что такое «Тавья». Самого имени Тавья в православных святцах нет, но оно могло быть разговорной или диалектной формой.

Самый вероятный источник — библейское имя Тавифа (арамейское «газель», «лань»). В русской традиции Тавифа — женское имя, но в быту его могли давать и мужчине (как охранительное, от сглаза, или по созвучию с местными прозвищами). Усечение до «Тавья» — обычный процесс для народной речи (ср. Евдокия → Авдотья, Татьяна → Таня). Тогда Тавьев — «сын Тавьи», где Тавья — мужское прозвище или форма крестильного имени.

Вторая версия, менее распространённая, но не лишённая логики: основа от тюркского или кавказского слова. Например, в тюркских языках есть корень tav/tau — «гора», а в осетинском тав* — «жар», «тепло». Однако фамилия образована по русской патронимической модели (-ев), а не по тюркской (-оглы, -заде), что говорит о том, что носитель или его предок жил в русскоязычной среде и получил фамилию от прозвища, которое могло быть заимствовано из местного говора.

Географически фамилия встречается единично, в основном в центральной России и на юге. Встречается вариант написания Тавиев — он более прозрачно отсылает к имени Тавия (ср. Тавия — уменьшительное от Тавифа). В старых переписях Тавьевых почти нет, что подтверждает: фамилия поздняя, скорее всего, возникла в XIX веке, когда крестьянам массово присваивали фамилии по прозвищам или именам отцов.

Так что если вы Тавьев, ваш предок, скорее всего, носил прозвище Тавья — либо как сокращение от церковного имени Тавифа, либо как местное слово, смысл которого со временем стёрся. Фамилия редкая, но её модель абсолютно стандартна для русского ономастикона.