Фамилия Течиева — женская форма фамилии Течиев, и её разбор стоит начать с мужского варианта, потому что именно он хранит ключ к происхождению. Основа «Теч-» — это, скорее всего, усечённая форма тюркского или кавказского личного имени. Наиболее вероятная версия: имя Теч (или Течи) восходит к тюркскому слову «теч» — быстрый, скорый, проворный. В таком случае прозвище или имя Теч давали человеку подвижному, расторопному, а фамилия Течиев буквально значит «потомок Теча».

Суффикс «-ев» (в женском варианте «-ева») указывает на русскую модель образования фамилий от иноязычных основ — так оформляли фамилии выходцев из тюркской, кавказской или иной среды, если имя или прозвище оканчивалось на мягкий согласный. Встречается и другая гипотеза: связь с чеченским или ингушским именем Теча (уменьшительное от более длинных имён вроде Течберд). В таком случае фамилия указывает на этническое происхождение носителей из кавказского региона, где фамилии с таким окончанием — обычное дело.

Географически фамилия Течиева распространена в Чечне, Ингушетии и среди выходцев из этих республик, а также встречается в среде кумыков и других тюркоязычных народов Северного Кавказа. Это сужает круг поиска: предки носителей фамилии, скорее всего, были горцами или жителями равнинного Предкавказья, занимавшимися скотоводством или земледелием. Никаких документальных свидетельств о дворянском или купеческом происхождении Течиевых нет — это фамилия, типичная для крестьянского и военного сословий, характерная для региона, где фамилии массово закрепились сравнительно поздно, в XIX — начале XX века.

Стоит заметить, что ударение в фамилии плавающее: в русской среде чаще говорят Те́чиева (с ударением на первый слог), а в кавказской — Течие́ва (на третий). Это не ошибка, а отражение двух разных языковых традиций произношения.