Фамилия Телешку звучит необычно для русского уха, и это первый ключ к разгадке. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский. Перед нами — фамилия, застывшая в форме родительного или винительного падежа единственного числа. Такая модель встречается в основном на западе и юге России, особенно в украинском и белорусском ареалах, где фамилии нередко оформлялись как прозвище в косвенном падеже: «чья?» — «Телешку».

Основа фамилии — слово «телеш» или «телеша». В южнорусских и украинских говорах так называли телёнка, а в переносном смысле — неопытного, молодого парня, «зеленого» человека. В некоторых диалектах «телеш» могло означать и просто «тёлка», «молодая корова». Прозвище Телеш, скорее всего, давали либо пастуху, либо человеку с мягким, спокойным нравом, либо, напротив, нерасторопному юнцу. Встречается и версия, что это прозвище от глагола «телешиться» (теляться) — то есть связанное с разведением скота.

Форма «Телешку» — это не именительный падеж, а скорее вопрос «чей?» или «кого?» (сын Телеша, работник Телеша). В украинской традиции такая модель широко распространена: фамилии типа Грицку, Иванку, Петру. В русском языке они редки, но встречаются в пограничных с Украиной областях — Курской, Белгородской, Воронежской, а также среди переселенцев на Кубань. Если ваши предки носили фамилию Телешку, с высокой вероятностью они происходят из этих регионов, где в XIX веке активно шёл процесс закрепления прозвищ в качестве фамилий через падежную форму.

Родственные фамилии — Телешов, Телешев, Телешенко, Телещук — все они восходят к тому же прозвищу Телеш. Но именно Телешку сохранила архаичную грамматическую конструкцию, которая в современном русском языке почти не образуется. Это не ошибка написания, а живой след диалектной речи, где фамилия отвечает на вопрос «чей ты?» — «Телешку».