Фамилия Теребунская происходит от прозвища Теребун, которое давали человеку с беспокойным нравом. В его основе лежит глагол «теребить» — дергать, рвать, тормошить. Так могли назвать того, кто не давал покоя окружающим, постоянно встревал в разговоры, или, напротив, задиру, склонного к дракам и ссорам. Впрочем, у прозвища мог быть и более безобидный смысл — так иногда называли непоседливого, суетливого ребенка, который всё время «теребит» родителей вопросами и просьбами.

Интересно, что фамилия Теребунская, а не Теребунов или Теребункин, указывает на иную модель образования. Суффикс -ская характерен для украинских и польских фамилий, которые часто формировались от названий местностей или прозвищ с добавлением этого окончания. В русской традиции чаще встречается форма Теребунов, а вот вариант с -ская выдает западнорусские или малороссийские корни рода. Возможно, предки носителей этой фамилии жили в местности, связанной с прозвищем родоначальника, или же сама фамилия закрепилась через польское влияние.

Прозвище Теребун со временем полностью вытеснило наследственное имя. Такое случалось повсеместно: сначала прозвище добавляли к крестильному имени для различения людей, а потом оно переходило к детям и внукам, постепенно заменяя первоначальное имя и в быту, и в документах. К XIX веку фамилия Теребунская уже существовала как устоявшееся родовое имя, хотя точных сведений о географии ее распространения или известных носителях в открытых источниках нет. Можно лишь предположить, что первые Теребунские жили на территории современной Украины или в западных губерниях Российской империи, откуда фамилия позже распространилась шире.