Фамилия Терейковская — яркий пример того, как географическая привязка и модель образования на -ский/-ская выдают дворянское или шляхетское происхождение рода. В отличие от простых крестьянских фамилий на -ов или -ин, этот суффикс в исторической России чаще всего указывал на владельческое село или поместье, от названия которого и произошла фамилия.

Основа фамилии — топоним Терейково или Терейки. Такие названия встречаются в западных и юго-западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Беларуси, Украины и восточной Польши. Скорее всего, родоначальник Терейковских владел или происходил из деревни с таким названием. Само слово «Терей» может восходить к древнему литовскому или балтскому корню, означающему «терн» или «колючий кустарник», либо к личному имени Терей (возможно, производное от Терентий, но с местной фонетикой). Менее вероятна, но возможна связь с тюркским «терек» — «тополь», что указывало бы на южные степи.

Модель образования фамилии — типичная для польской и западнорусской шляхты: название поместья (Терейки) + суффикс принадлежности -овск-/-евск- + окончание -ая. В XVIII–XIX веках такие фамилии могли получить и выходцы из духовенства, но для Терейковской приоритетна именно версия о дворянском корне. Поскольку фамилия не относится к числу массовых, её носители, вероятно, происходят из одного относительно компактного рода, разошедшегося по разным губерниям после разделов Польши.

В современных базах данных фамилия встречается редко, что подтверждает её узкую географическую привязку. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Минской, Гродненской или Волынской губерний — именно там с наибольшей вероятностью находились поместья с названием Терейки.