Фамилия Терейковський — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную версию. Её основа — не имя и не ремесло, а топоним, и это сразу сужает круг поисков.

Словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ськ- (в русской передаче -ск-) указывает на принадлежность к месту. Обычно такие фамилии получали либо по названию имения, либо по родному селу. Корень «Терейк-» восходит к названию населённого пункта. Наиболее вероятный кандидат — село Терейки (или Терейков) на территории современной Украины или Беларуси. В польских и украинских землях было несколько хуторов и деревень с похожим именем, образованным от прозвища или имени Терей — варианта канонического Терентий (от латинского «терпеливый»). Таким образом, фамилия буквально означает «выходец из Тереек» или «принадлежащий к поместью Терейковых».

Интересно, что в отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, которые часто давали по отцу, форма на -ський в XVI–XVIII веках была маркером шляхетского или казацкого статуса. Её носители — не крестьяне, а люди, владевшие землёй или служившие в реестровом казачестве. Впрочем, к XIX веку эта граница стёрлась, и Терейковськие могли быть уже кем угодно.

Встречается фамилия в основном на западе Украины (Волынь, Подолье) и в приграничных районах Польши. В России она редка и почти всегда принадлежит потомкам переселенцев. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите его корни не в святцах, а на карте — в метрических книгах волынских или подольских сёл, где упоминается Терейки.