Фамилия Терейковский — один из тех случаев, когда разбор по составу даёт больше загадок, чем ответов. На слух она кажется типичной «географической» фамилией с суффиксом -ский, которая обычно указывает на происхождение от названия места (села, усадьбы). Однако с корнем Терейк- всё не так просто: в топонимике России нет ни одного известного населённого пункта с таким названием, который бы явно дал начало фамилии.

Если отталкиваться от модели образования, то перед нами — патроним (фамилия от имени или прозвища отца), оформленный по польско-шляхетскому образцу: основа + -овский/-евский. То есть Терейковский буквально означает «сын Терейка» или «происходящий от Терейка». Само имя Терейк — это уменьшительная форма от одного из крестильных имён: либо Терентий (через разговорную форму Терёха, Терёшка, где произошла мена х/к), либо от редкого имени Тарасий (в диалектах — Терас, Терей). В пользу Терентия говорит то, что это имя было широко распространено среди крестьян и мещан, а его уменьшительные варианты дали множество фамилий: Терентьев, Терехов, Терешкин. Терейк — менее частый, но вполне возможный вариант.

Вторая версия, более редкая, связывает фамилию с украинским или белорусским прозвищем «терей» (от «терти» — тереть, мять). В таком случае Терейко мог прозвать человека, занятого какой-то монотонной работой — например, толчеёй зерна или выделкой кож. Однако суффикс -ский в этой версии смотрится искусственно: прозвищные фамилии чаще оформлялись через -енко, -ук или -ов.

Географически фамилия тяготеет к западу России и к Украине. По данным современных справочников, Терейковские встречаются в Брянской, Смоленской областях, а также на востоке Беларуси. Это указывает на то, что фамилия могла возникнуть в среде мелкой шляхты или однодворцев — тех, кто носил «панские» суффиксы, но по сословию был ближе к крестьянам. В польском языке существовала фамилия Terejkowski, и её носители могли переселиться в Российскую империю после разделов Речи Посполитой.

Итог: скорее всего, Терейковский — это фамилия-патроним, образованная от уменьшительного имени Терейк (от Терентий), с добавлением дворянского суффикса -ский. Предки носителя этой фамилии могли быть однодворцами или обедневшей шляхтой из западных губерний.