Фамилию Тержевик стоит разбирать по частям: основа «терж-» и суффикс «-евик». Фамилии на «-ик» и «-овик/-евик» в русской ономастике редки. Чаще всего их давали либо по отцу (как вариант патронима), либо по роду занятий, либо как прозвище, перешедшее в фамилию. Суффикс «-евик» здесь указывает на принадлежность: «сын человека по прозвищу Терж» или «тот, кто связан с Тержем».

Корень «терж-» — самый интересный. В русских говорах слово «терж» или «тёрж» не зафиксировано как самостоятельное. Скорее всего, это диалектная или искажённая форма от «терзать» — «терзать, мучить, рвать». Прозвище Терж могли дать человеку с беспокойным, въедливым характером, либо тому, кто работал с чем-то жёстким, например, трепал лён или шерсть (процесс называли «терзать»). Вторая версия — более прозаическая: «терж» могло быть вариантом слова «терпуг» (напильник) или «терка» — тогда прозвище давали жестянщику, слесарю или тому, кто постоянно что-то тёр.

Географически фамилия Тержевик встречается крайне редко. Основные носители — на северо-западе России, в частности в Псковской и Новгородской областях, а также в Беларуси. Это подсказывает, что корень может быть западнорусским или белорусским. В белорусском языке есть слово «церж» (тёрн, колючка) — отсюда прозвище могли дать колючему, неуживчивому человеку. В таком случае фамилия Тержевик — «сын Колючки» или «сын Тёрна».

Сословная принадлежность фамилии не прослеживается: Тержевики не значатся в дворянских родословных книгах. Скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по характеру или работе, а не по имени.

Итог: фамилия Тержевик — редкий пример прозвищной фамилии с неочевидной, но живой диалектной основой. Наиболее вероятна связь либо с «терзать» (беспокойный человек), либо с «терж» (колючка) в белорусском варианте. Суффикс «-евик» подчёркивает патронимический характер — «сын Тержа». Споров о происхождении почти нет, так как других версий, кроме этих двух, ономастика не предлагает.