Фамилия Тетешкина — женская форма фамилии Тетешкин, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Основа здесь — имя или прозвище Тетешка. Это уменьшительно-ласкательная форма от древнерусского имени Тетера (или Тетеря), которое было довольно распространено в старину. Тетерей на Руси называли не только птицу, но и человека — чаще всего медлительного, сонного или, наоборот, пёстро одетого. В народе говорили: «Тетеря — сонная тетеря», подшучивая над тем, кто долго раскачивается. Суффикс -к- в имени Тетешка придаёт ласковый, бытовой оттенок, как в Ванька, Митька или Петрушка.

Словообразовательная модель проста: к основе Тетеш- добавился притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность. Тетешкин — буквально «сын Тетешки» или «человек из рода Тетешки». Такие фамилии на -ин в русском языке типичны для северных и центральных областей, особенно в бывших новгородских землях. Встречаются они и в Поволжье, где осевшие переселенцы сохраняли архаичные формы имён. Поскольку фамилия недворянская, скорее всего, предки носительницы были крестьянами или посадскими людьми, получившими фамилию по отцу или деду, которого в округе знали как Тетешку.

Любопытно, что у фамилии есть близкие «родственники»: Тетеркин, Тетерин, Тетеревятников. Все они восходят к одному корню, но Тетешкин стоит особняком из-за уменьшительного суффикса. Это указывает на то, что прозвище было не обидным, а скорее бытовым, домашним — так могли звать в семье или в тесном кругу. В современных справочниках фамилия встречается редко, что говорит о её локальном бытовании: возможно, она закрепилась в каком-то одном селе или волости и не получила широкого распространения.

Если говорить о спорных версиях, то иногда Тетешку связывают с тюркским словом «тете» (дядя) или с диалектным «тетёшка» (неряха). Но первая версия маловероятна для русской фамилии с суффиксом -ин, а вторая — лишь дополнительный оттенок, не отменяющий основного птичьего корня. Так что самый прямой ответ: предки Тетешкиных — это люди, чей родоначальник носил прозвище Тетешка, скорее всего, за сходство с тетеревом или за медлительный нрав.