Фамилия Тетешкин стоит в ряду русских фамилий, образованных от прозвища или имени, которое в современном языке звучит неожиданно. Основа здесь — «Тетешка». В первую очередь на ум приходит диалектное слово «тетёшка»: в ряде говоров так называли упитанного, медлительного человека, иногда — просто увальня или нерасторопного ребёнка. Связь с глаголом «тетешкать» (нянчить, качать на руках) тоже возможна, но менее вероятна: прозвище скорее отражало внешность или характер, чем действие.

Модель образования проста и типична для XVI–XVII веков: суффикс -ин указывает на принадлежность — «чей сын?» — «Тетешкин». То есть Тетешкин — это потомок Тетешки. Подобных фамилий в русском языке много: Петькин, Васькин, но здесь в основе не церковное имя, а бытовое прозвище. В старых писцовых книгах можно встретить крестьян и посадских с таким именованием, например, в документах по Рязанскому краю XVII века упоминаются «Тетешка да Мишка» — именно в такой форме, без отчества, что характерно для простых сословий.

Интересна параллель с фамилией Тетерин, но Тетешкин — не от птицы тетерева, а от личного имени. Редкий вариант написания с «ё» (Тетёшкин) встречается, но ударение в любом случае падает на второй слог: Тетéшкин. Фамилия не аристократическая, а крестьянская или мещанская, что подтверждается и её распространением: чаще всего Тетешкины встречаются в центральных областях России и в Поволжье, особенно в Пензенской и Нижегородской губерниях.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а родоначальник получил прозвище за свою медлительную походку или плотное телосложение. Никакой мистики — просто меткое народное слово, закрепившееся в роду.