Фамилия Тейшану — один из тех редких случаев, когда носитель почти наверняка может определить регион происхождения предков по самому звучанию. Скорее всего, перед нами молдавская или румынская фамилия. Её окончание на -у типично для восточно-романских языков, в частности для молдавского антропонимикона, где суффикс -у (-ul) восходит к определённому артиклю. В русской среде такие фамилии часто не склоняются и остаются без изменений.

Основа фамилии — «Тейшан». Здесь возможны два варианта происхождения, и оба связаны с прозвищем. Первый: от румынского слова «tei» (липа) или «teiș» (липовая роща). В этом случае Тейшану — «липовый», то есть человек, живший у липовой рощи или владевший ею. Второй, менее очевидный, но тоже вероятный: от тюркского слова «тайшан» (заяц). Это могло быть прозвищем быстрого, робкого или, наоборот, плодовитого человека. Для Молдавии и Бессарабии, где веками соседствовали романское и тюркское население, такое смешение корней не редкость.

Суффикс -ан (-eanu) в румынских фамилиях часто указывает на происхождение из определённого места или принадлежность к роду. То есть Тейшану — это буквально «потомок Тейшана» или «человек из рода Тейшан». Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, характерная для сельских общин, где прозвище закреплялось за целой семьёй.

В отличие от многих русских фамилий на -ов/-ев, которые массово появлялись после отмены крепостного права, молдавские фамилии на -у часто фиксировались в церковных книгах уже в XVIII–XIX веках. Носители фамилии Тейшану, вероятно, были царанами (свободными крестьянами) или мелкими ремесленниками на территории исторической Бессарабии. Сегодня эта фамилия встречается в Молдавии, Румынии, а также среди потомков эмигрантов в России и Украине. Вариантов написания, судя по всему, немного — основная форма стабильна, что говорит о сравнительно позднем закреплении фамилии в письменных источниках.