Фамилия Тигешкин — редкий пример, где основа неочевидна, а суффикс указывает на конкретный тип образования. Модель простая: корень Тигешк- плюс суффикс -ин, который в русских фамилиях означает принадлежность. Тигешкин — буквально «сын Тигешки» или «человек из семьи Тигешки». Вопрос упирается в то, что такое «Тигешка».

Скорее всего, Тигешка — это разговорная, уменьшительная форма от крестильного имени. Какие имена могли дать такое производное? Подходит Тигран (армянское имя, известное по истории, но в русской среде редкое) или Тигрий (от латинского tigris — тигр, имя из святцев, хоть и нечастое). В обоих случаях суффикс -ешк- (или -ошк-) придаёт прозвищный, фамильярный оттенок. В русской народной традиции так образовывали домашние имена: Тимошка (от Тимофей), Тишка (от Тихон), а Тигешка — от более редкого Тигран или Тигрий. Правдоподобнее версия с Тиграном: в южнорусских и казачьих областях армянские имена иногда адаптировали через уменьшительные формы.

Другая версия, менее вероятная, — от тюркского корня «тиг» (тег) в значении «равный, достойный» или «метка, знак». Тогда Тигеш могло быть прозвищем, а Тигешкин — «сын Тигеша». Но суффикс -ешк- в тюркских заимствованиях встречается редко, чаще используют -иш- или -ыш-. Поэтому версия с крестильным именем выглядит убедительнее.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России, но не частотна. Встречается в единичных записях по Воронежской, Ростовской областям и Краснодарскому краю. Сословного барьера у неё не было: крестьяне и мещане могли получить такую фамилию от прозвища, закрепившегося за родом. Сравните с однокоренными Тигеев, Тигин — они тоже редки, что подтверждает уникальность основы.

Таким образом, Тигешкин — это отчество от прозвищной формы имени Тигран (или Тигрий), которое дали предку, а затем фамилия закрепилась за его потомками. Никакой тайны, кроме редкости имени-источника.