Фамилия Тиьофеева — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. Первое, что бросается в глаза: в корне стоит «ь» после «т», что нетипично для русского языка. Вероятнее всего, перед нами опечатка, диалектное произношение или ошибка переписчика, превратившая фамилию Тимофеева в Тиьофеева.

Если отбросить искажение, основа фамилии восходит к каноническому мужскому имени Тимофей (от греч. «timao» — чтить и «theos» — бог, то есть «почитающий Бога»). В русской традиции от имени Тимофей образовалась фамилия Тимофеев (через суффикс -ев, указывающий на принадлежность: «сын Тимофея»). Женская форма — Тимофеева. Появление «ь» вместо «м» могло возникнуть в устной речи (например, в некоторых говорах «м» перед мягкими гласными звучит как «мь», что на письме иногда передавали через «ь») или из-за небрежного заполнения документов. Встречается и вариант «Тиофеев», где «м» выпало вовсе — это тоже следствие упрощения.

Географически фамилия Тимофеева (и её редкие варианты) распространена по всей России, но исторически чаще встречалась в северных и центральных губерниях, где имя Тимофей было популярно среди крестьян и мещан. Если ваш предок носил фамилию Тиьофеева, с высокой вероятностью он был из тех слоёв, где грамотность была низкой, а запись фамилии зависела от слуха писаря. Дворянских родов с такой орфографией не зафиксировано — это однозначно «народный» вариант.

Словообразовательно фамилия проста: суффикс -ев указывает на патроним (отчество), а окончание -а — на женскую форму. Но в данном случае «ь» в корне делает её уникальной: это не норма, а живой след устной традиции или ошибки. Если вы встретили такой вариант в старых документах, стоит проверить соседние записи — возможно, там же значится и «Тимофеева», что подтвердит версию о замене буквы.