Фамилия Тиьофеев — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. На слух она почти неотличима от распространённой фамилии Тимофеев, но орфографическая замена «м» на «ь» (или даже на мягкий знак, который здесь выглядит как лишний) указывает на ошибку в записи или на диалектное произношение.

Исходная фамилия Тимофеев образована от канонического крестильного имени Тимофей (греч. Timotheos — «почитающий Бога»). Суффикс -ев указывает на принадлежность: Тимофеев буквально означает «сын Тимофея». Это типичная русская фамилия, входящая в сотню самых частых в России. Она встречается повсеместно, с небольшим перевесом в северных и центральных областях, где имя Тимофей было особенно популярно в XVI–XVII веках.

Что касается написания Тиьофеев, то здесь, вероятно, сработала одна из двух причин. Первая: в старых документах (метрических книгах, ревизских сказках) писарь мог записать фамилию на слух, передав мягкое «м» через «ь» (например, в говорах, где «Тимофей» звучало как «Тьмофей»). Вторая: это опечатка при переписке или при оцифровке архивных данных — мягкий знак легко спутать с буквой «м» в скорописи.

Если вы носите именно такой вариант, то ваши предки с высокой вероятностью были крестьянами или мещанами, получившими фамилию по отцу. Родословную стоит искать в тех же местах, где жили Тимофеевы: в центральных губерниях России (Ярославская, Костромская, Тверская, Московская). Сословная принадлежность в подавляющем большинстве случаев — крестьянство, реже — духовенство (Тимофеевых-священников много, но они обычно носили фамилию без искажений).

В современном русском языке фамилия Тиьофеев — орфографический курьёз. Она не зафиксирована в крупных ономастических словарях как самостоятельная форма, что подтверждает её вторичное, ошибочное происхождение. Если вы встретили её в документе, стоит проверить, не является ли она опечаткой, — иначе поиск предков может увести не туда.