Фамилия Тиверкаева — редкая и неочевидная. Чтобы добраться до её корня, нужно отбросить суффикс и посмотреть на основу, которая, скорее всего, не славянская, а тюркская. Образована она по русской модели: к основе «Тиверкай» добавили притяжательный суффикс -ев (в женском роде -ева). Модель типична для фамилий, произошедших от прозвищ или имён на -ай/-кай.

Главная версия: основа «Тиверкай» — это диалектный вариант тюркского мужского имени Тимеркай. Тимер по-татарски и по-башкирски значит «железо», а -кай — уменьшительно-ласкательный суффикс. Получается «железный», «крепкий как железо». В русской записи звук «м» мог перейти в «в» под влиянием местного говора или просто при неточной записи в документах — Тимеркай → Тиверкай. Такое чередование встречается в фамилиях тюркского происхождения.

Вторая, менее вероятная версия, выводит прозвище из финно-угорских языков. Тивер — это историческое название племени тиверцев, жившего в Поднестровье. Но фамилия Тиверкаева распространена не на юго-западе, а в Поволжье и Приуралье, где сильны тюркские корни. Поэтому связь с тиверцами выглядит натянутой — скорее случайное внешнее сходство.

География фамилии тоже подсказывает ответ. Тиверкаевы встречаются в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Это регионы, где веками жили татары и башкиры, принимавшие православие. Фамилии на -каев, -кеев, -каевых — характерный след такого перехода. Предок Тиверкаевых, скорее всего, был крещёным татарином или башкиром, которого в русской среде прозвали по его старому имени Тимеркай.

Словообразовательный нюанс: суффикс -ев, а не -ин, указывает, что основа заканчивалась на согласный или йот. В имени Тиверкай конечный «й» при склонении даёт форму «Тиверкая», от которой и пошла фамилия: «чей? — Тиверкаев». Это стандартная, а не редкая модель, но сама основа в русских документах почти не встречается за пределами этой фамилии.

Итог простой: фамилия Тиверкаева говорит о том, что предок носителя был тюркоязычным, вероятно, татарином или башкиром, и носил имя, означавшее «железный человек». Никакой мистики или древней знати — обычная история адаптации чужого имени в русскую фамильную систему, и от этого она не менее интересна.