Фамилия Тивиляева — редкий пример, где географическая привязка важнее разбора корня. Скорее всего, это патроним (фамилия по отцу) с типичным русским суффиксом -ев, указывающим на принадлежность: «чей?» — Тивиляев, то есть сын или потомок Тивиляя. Основа «Тивиляй» — это некалендарное личное имя или прозвище, которое в старину давали не при крещении, а в быту.

Самая правдоподобная версия связывает «Тивиляй» с диалектным глаголом «тивилять» — то есть идти шаткой походкой, вилять, уклоняться. В говорах северо-запада и центра России так говорили о человеке, который ходит вразвалку или, в переносном смысле, ведёт себя уклончиво, хитрит. Прозвище могли дать медлительному, неуклюжему человеку либо, наоборот, пронырливому и изворотливому. Формы на -ай (Тивиляй, Ковыляй, Шаркай) характерны для народных имён, образованных от глаголов повелительного наклонения: они описывают характерное действие.

Вторую, менее очевидную версию подсказывает окончание -ева. Если фамилия не русская, а прибалтийско-финского или карельского происхождения, то основа могла быть иной. В карельском языке есть слово «tivi» — «плотный, твёрдый», и «tivie» — «теснить». Тогда прозвище Тивиляй могло означать «упрямый» или «крепко стоящий на своём». Однако эта гипотеза слабее: суффикс -ай не типичен для финно-угорских прозвищ, а фамилия явно оформлена по русской модели.

Сословная принадлежность Тивиляевых не зафиксирована в общих списках дворянства, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается в основном в Вятской и Пермской губерниях — регионах, где было сильно влияние севернорусских говоров и где глагол «тивилять» употреблялся. Сравните с однокоренными фамилиями Тивиков, Тивин — они тоже редки и привязаны к тому же ареалу.

Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, носил прозвище Тивиляй. Он мог быть крестьянином из вятских или пермских земель, которого за неторопливую походку или хитрый нрав прозвали «виляющим». Фамилия сохранила эту бытовую характеристику, и сегодня Тивиляевы — носители редкого имени, почти не встречающегося за пределами Урала и Поволжья.