Фамилия Цапайкин — редкий пример, где основа не очевидна на первый взгляд, а суффикс выбивается из стандартного ряда. Большинство русских фамилий на -кин образованы от имён или прозвищ на -а/-я (Мина — Минин, Кузьма — Кузьмин), но здесь мы видим цепочку: Цапайка → Цапайкин. Суффикс -к- в основе указывает на уменьшительно-уничижительную или бытовую форму прозвища, а -ай- — характерный для южнорусских и украинских говоров способ образования имён (ср. Мамай, Бодай).

Корень «цапа-» отсылает к глаголу «цапать» — хватать, хвататься, царапать. В диалектах слово имело широкий спектр значений: от «хватать руками» до «воровать» или «драться». Прозвище Цапайка могли дать человеку с хваткими руками, цепкому, возможно, сварливому или тому, кто любил «цапаться» — ссориться. В некоторых говорах «цапай» означало также работника, который быстро и жадно берётся за дело, но не всегда доводит его до конца.

По модели образования фамилия типична для северных и центральных областей России, где -ин и -кин преобладают, но основа с «-ай-» скорее тяготеет к рязанским, тамбовским и курским говорам. Социально носители фамилии в XIX веке могли быть крестьянами или мещанами — фамилия не дворянская, без суффикса -ский, и не искусственная, семинарская. Интересно, что фамилия не встречается в массовых списках боярских или служилых родов — это чисто народное прозвище, которое закрепилось в документах, вероятно, при переписях XVIII–XIX веков.

Сравните с однокоренными: Цапкин (от «цапка» — коза или крюк), Цапурин (от «цапура» — царапина), Цапалов (от «цапало» — хвататель). Цапайкин стоит особняком — редкий суффикс -айкин делает фамилию почти уникальной, а не просто вариантом распространённой модели. Если искать географию, то в современных базах единичные носители встречаются в Воронежской и Липецкой областях, что подтверждает южнорусский след.

Версия о происхождении от украинского «цап» (козёл) маловероятна: тогда фамилия звучала бы как Цапенко или Цапкин, а форма «Цапайка» требует именно глагольной основы. Так что, скорее всего, ваш предок был человеком с цепкой хваткой — в прямом или переносном смысле.