Фамилия Цензура встречается настолько редко, что в подавляющем большинстве случаев её происхождение не связано с государственным контролем за печатью. Основа здесь — не латинское censura, а разговорное или диалектное слово «цензура» (или «цензур»), которое в русских говорах имело совсем другое значение. Чаще всего так называли придирчивого, строгого человека, который ко всему относился с излишней критикой, «цензурировал» каждое слово и действие. Прозвище могло закрепиться за брюзгой, занудой или, наоборот, за человеком, который следил за порядком в общине.

Суффикс -а в финале фамилии нестандартен для русской модели. Обычно фамилии на -а в славянской традиции характерны для украинской или белорусской среды (Цензура, как и Шинкаренко, Ковальчук, может иметь западнорусские корни). В русском языке фамилии на -а чаще заканчиваются на -ин (Цензурин) или -ов (Цензуров). Поэтому версия, что Цензура — это усечённая форма от более старой фамилии (например, Цензуренко, Цензурский), тоже имеет право на существование: при переезде в другую местность суффикс могли отбросить.

Менее вероятная, но не исключённая гипотеза — связь со словом «цензура» в значении «оценка, мера». В некоторых южнорусских говорах «цензура» означала «оценка скота» или «мера длины». В таком случае прозвище мог получить оценщик, мерильщик или человек, который устанавливал нормы.

Однозначно определить сословную принадлежность носителей фамилии Цензура сложно: она могла возникнуть и в крестьянской среде (прозвище по характеру), и среди мелких чиновников или церковнослужителей (где знание латинских терминов было не редкостью). В любом случае, это редкий пример фамилии, за которой стоит не бюрократический аппарат, а живое народное слово, иронично описывающее человеческие качества.