Фамилия Цешнати — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает любые попытки вывести её из нарицательного слова. Скорее всего, перед нами не русская, а польская или западноукраинская фамилия, и ключ к её разгадке лежит в суффиксе и ударении.

Основа «Цешн-» восходит к польскому «cieszny» или «cieszyć» — «радовать», «веселить» или «тесный» (в старой орфографии «ciasny»). Но самый прямой вариант — польский топоним Cieszna или Cieszno. Такие названия встречаются в Силезии и Малопольше. Фамилии на -ати, особенно с ударением на последний слог, типичны для польской модели образования от названий мест: человек из Цешны становился Цешнати. Аналогично работают фамилии вроде Бжезинати (от Brzezina) или Лещинати (от Leszczyna). Это не русский суффикс, а польский, который в русском языке почти не встречается.

Менее вероятная, но допустимая версия — профессия. В польских диалектах «ciesna» могло означать тесную обувь или узкий проход, а прозвище Цешна давали либо сапожнику, работавшему с узкой колодкой, либо человеку, жившему в тесном переулке. Однако суффикс -ати жёстко привязывает носителя к конкретному месту, а не к занятию. Если бы фамилия была русской, мы бы ждали окончания -ов или -ин (Цешнов, Цешнин), но его нет.

Написание «Цешнати» — это русифицированная или украинизированная передача польского Ciesznać или Cieszna ty. В польском языке буква «ć» могла читаться как мягкое «ць», но в русской записи её заменили на «ц». Встречаются варианты Цешнатый, Цешнать, но исходная форма — именно с финальным -и, как у фамилий типа Ковальчи или Гловати.

В сословном отношении носители такой фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами из южной Польши или Западной Украины (Галиция, Волынь). Шляхетские фамилии в этой модели тоже встречались, но редко и обычно с приставкой «з» или «фон» (например, z Cieszny). Без неё — это маркер простонародного происхождения.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метриках католических или греко-католических приходов XIX века на территории современных Подкарпатского или Люблинского воеводств Польши, а также в окрестностях Львова и Тернополя. Фамилия очень редкая — в современных базах данных России и Украины её почти нет, что только подтверждает её узколокальное происхождение.