Фамилия Цеверенко звучит очень характерно для украинской ономастики. Её выдает суффикс -енко, который в XVI–XVIII веках был главным маркером «сына такого-то» или «потомка такого-то» на землях современной Украины и юга России. Если разобрать фамилию по косточкам, то корень здесь — Цевер-, а суффикс — -енко. Это означает, что первый носитель фамилии был сыном или подчиненным человека по прозвищу Цевер.

Сам корень «цевер» — редкий и неочевидный. В украинском языке есть слово «цебер» — это деревянное ведро, ушат, кадка. Вполне вероятно, что прозвище Цевер (или Цебер) получил бондарь, который делал такие ведра, либо человек, торговавший ими. Однако есть и вторая, более живая версия. В южных говорах «цевером» могли назвать неуклюжего, нерасторопного человека или того, кто ходит вразвалку, как с тяжелой ношей. Такие прозвища по поведению давали очень часто, и они легко закреплялись за родом.

С географической точки зрения фамилия Цеверенко явно тяготеет к левобережной Украине и югу России. Это типичная «степная» фамилия, которая могла возникнуть в среде казачества или крестьянства. Суффикс -енко в этой фамилии не просто указывает на происхождение от отца, но и говорит о том, что род, скорее всего, не принадлежал к дворянству — в высших сословиях такие фамилии закреплялись редко, уступая место формам на -ов или -ский.

Интересно, что в русском языке фамилия могла писаться и через «и» — Циверенко. Это связано с тем, что в украинском языке звук «е» в безударной позиции часто произносится как нечто среднее между «и» и «е». На письме это иногда отражалось, и варианты «Цеверенко» и «Циверенко» могли бытовать в одной и той же семье, пока не была зафиксирована официальная форма. Родственными по корню можно считать фамилии Цебер, Цеберяко, Цебернак, а также Цевелев — все они восходят к тому же «цебру» или производным от него прозвищам.