Фамилия Цыкавая — редкий случай, когда географическая привязка перевешивает любые другие версии происхождения. Она почти наверняка украинская или южнорусская, и её основа — не имя и не ремесло, а диалектный глагол или прозвище.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия заканчивается на -ая, что для русских фамилий — окончание прилагательного женского рода. Но в полной форме она могла сохраниться как фамилия женщины (например, вдова Цыкавого) или как фамилия, не склоняемая по падежам в мужском варианте (Цыкавая — и мужчина, и женщина). Однако куда логичнее видеть здесь украинскую фамилию с окончанием -а (Цыкава), которую при русификации записали как Цыкавая. Суффикс -ав- в основе указывает на качество или склонность: «цыкавый» — тот, кто цыкает.

Корень «цык-» восходит к звукоподражательному «цык» — резкий, призывный или предупреждающий звук, который издавали, чтобы привлечь внимание, утихомирить или подозвать. В говорах «цыкать» означало не только издавать такой звук, но и, например, «шепелявить», «сюсюкать» или «говорить с присвистом». Прозвище Цыкавый могли дать человеку с характерной манерой речи — шепелявому, сюсюкающему, или тому, кто постоянно цыкал на детей или животных. В украинском языке «цикати» (звук «и» вместо «ы») имеет те же коннотации.

Спорных версий здесь немного. Связывать фамилию с тюркским «цык» (граница, предел) или с названием птицы (цыка — разговорное название синицы в некоторых регионах) — гипотезы слабые: нет ни исторической, ни фонетической поддержки. Правдоподобнее всего — прозвище по голосу или поведению.

Фамилия крайне редкая. Встречается в основном на юге России и востоке Украины, что подтверждает её диалектное происхождение. В документах XVII–XVIII веков она не зафиксирована, что говорит о её позднем оформлении — скорее всего, из прозвищ крестьян или казаков, которые получили фамилии при переписях XIX века. Сословно — почти наверняка крестьянская или казачья среда.

Итог: предки носителя фамилии Цыкавая получили её за характерный голос или манеру говорить — цыкали, сюсюкали или прикрикивали. Фамилия сохранила живую черту бытового общения, а не книжное или церковное имя.