Фамилия Тюркинкун — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не прозвище и не профессия, а целое этническое самоназвание, осложнённое редкой словообразовательной моделью. Она явно происходит от этнонима «тюрк» (или «тюркин», то есть «тюркский»), а вторая часть — «кун» — скорее всего, восходит к тюркскому же слову «кюн» или «гюн» (солнце, день). Таким образом, Тюркинкун можно перевести как «тюркское солнце» или «солнце тюрков». Это не фамилия, возникшая в крестьянской среде от отчества, а, вероятно, искусственное, книжное образование — возможно, псевдоним или фамилия, присвоенная в среде тюркоязычной интеллигенции начала XX века, когда было модно подчёркивать национальную идентичность через составные, «возвышенные» фамилии.

Суффиксальная модель здесь нестандартна. В русской фамильной системе суффиксы -ов, -ев, -ин, -ский указывают на принадлежность: «чей?». Тюркинкун — это не «сын Тюркинкуна», а сложное слово, где обе части полнозначны. Фамилии такого типа (соединение двух корней без суффикса) в русском языке единичны и обычно заимствованы из тюркских языков или созданы по их образцу. Сравните с фамилиями Алтынбаев (золотая голова), Айткулов (лунный раб) — там есть суффикс принадлежности. Тюркинкун же обходится без него, что говорит о более позднем, сознательном происхождении, возможно, уже в советское время, когда люди сами выбирали себе фамилии.

Географически фамилия почти не встречается в исторических переписях. Её нет в словарях Б. Унбегауна и В. Никонова, нет в боярских списках или ревизских сказках. Это верный признак того, что перед нами не древняя родовая фамилия, а относительно новое явление. Носители Тюркинкун, если они есть, — скорее всего, потомки людей, живших в Поволжье, на Урале или в Сибири, среди татар, башкир, казахов или других тюркских народов, где сохранялась традиция давать детям «говорящие» имена и фамилии.

Единственная версия, которая объясняет и состав, и редкость, — это происхождение от прозвища или псевдонима. В начале XX века, в эпоху национального возрождения, тюркоязычная интеллигенция (писатели, учителя, общественные деятели) нередко брала себе фамилии, подчёркивающие связь с древними тюрками и их солнечной символикой. «Тюркинкун» могло быть литературным псевдонимом, который затем закрепился как фамилия у потомков. Никаких других, более прозаических версий (от названия ремесла, места жительства или личного имени) для этой фамилии нет — слишком уж она составная и семантически прозрачна.