Дохристианский именник у мордвы состоял преимущественно из самобытных имен, хотя, разумеется, включал и ряд заимствованных: славянских, арабских, тюркских и др. Основы традиционных мордовских личных имён обычно обозначают или черту характера — Кежай, Кежут, Кежапа, Кежеват, Кежедей от кежей «злой», Паруш от паро «хороший», или передают отношение к ребенку, чувства родителей — Вечкас, Вечкуш, Вечкан, Вечковат, Вечкенза от вечкемс «любить», Учай, Учват, Учесь, Учан от учемс «ждать», или называют место рождения ребенка — Паксяй, Паксют, Пакстян от пакся «поле», Виряй, Виряс, Вирдян от вирь «лес», или содержат намек на время рождения — Нуят, Нуянза, Нуякша от нуемс «жать», Пивцай от пивцемс «молотить» и т. Фамилия Уфаева, вероятно, ведет свое начало от дохристианского мужского имени Уфай. Оно, предположительно, ведет свое начало от мордовского слова «уфай» - «дуть». Возможно, именем Уфай нарекли ребенка, родившегося в очень ветреную погоду. По другой версии, в основе фамилии Уфаева лежит прозвище Уфай, в основе которого лежит древнетюркское слово «уба» - «холм, гористая местность». Соответственно, прозвище Уфай мог получить тот, кто жил на возвышенности. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Уфай, со временем получил фамилию Уфаева.