Фамилия Уюк — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. В русском языке нет корня «уюк» со значением, которое могло бы стать прозвищем или именем. Зато в топонимике Сибири это слово встречается: река Уюк в Туве, правый приток Енисея. Человек, живший на этой реке или выходец оттуда, вполне мог получить фамилию по месту жительства — без суффикса, в чистой форме. Такие «географические» фамилии без оформления -ов/-ин встречаются, хоть и реже, и обычно указывают на недавнее переселение или на то, что фамилию давали уже в советское время при паспортизации, когда чиновник записывал прозвище как есть.

Модель образования здесь минималистичная: основа Уюк без добавочных суффиксов. Это не характерно для классической русской фамильной системы, где преобладают -ов/-ев и -ин, но встречается у фамилий тюркского или сибирского происхождения. Если же предположить, что фамилия всё-таки от прозвища, то искать корни надо в тюркских языках: в хакасском или тувинском «уюк» может означать «гнездо», «логовище» или «берлога». Тогда прозвище Уюк могли дать домоседу, человеку, который редко покидал свой дом, — или, наоборот, охотнику, знающему звериные логова.

С точки зрения сословной истории, носители фамилии Уюк — скорее всего, крестьяне или казаки из Сибири, где и закрепилась эта фамилия. Данных о дворянском роде с такой фамилией нет. В современной России фамилия встречается, но очень редко, в основном в Сибири и на Дальнем Востоке. Однокоренных фамилий практически нет, что только подтверждает её локальный, топонимический характер.