Фамилия Уюкин — редкий пример, где основа настолько неочевидна, что сразу порождает несколько версий. Самая простая и правдоподобная: в основе лежит прозвище Уюка. В русских говорах слово «уюка» означало крикливого, капризного или плаксивого человека — того, кто постоянно «уёкает» (издаёт жалобные звуки «у-у»). Такие прозвища по поведению давали людям с беспокойным или ноющим характером, и они легко закреплялись как фамилии.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Уюкин, то есть сын или потомок Уюки. Это стандартная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ, оканчивающихся на -а или -я. Если бы основа звучала как Уюк, фамилия была бы Уюков, но здесь именно женский или уменьшительный тип основы.

Есть и менее очевидная версия — от тюркского корня. В татарском и башкирском «уюк» означает «впадина», «углубление» (например, в рельефе). Тогда прозвище могли дать человеку, жившему в низине, овраге или просто в «ямном» месте. Но эта версия слабее: переход от географического термина к личному прозвищу в русской среде маловероятен, а фамилия Уюкин встречается почти исключительно среди русского населения центральных и северных областей, где тюркских заимствований в бытовой речи мало.

Географически фамилия редкая, с заметным пятном в Вологодской и Кировской областях, а также в старых переписях Архангельской губернии. Это косвенно подтверждает версию о диалектном русском слове: именно в северных говорах «уюка» как прозвище бытовало чаще, чем где-либо ещё.

Сравните с однокоренными: Уюков (та же основа, но другой суффикс), Уюкинский (искусственное, позднее). Уюкин — самая «прямая» форма, без лишних наслоений. Никаких дворянских родов или известных исторических деятелей с этой фамилией не зафиксировано — это фамилия крестьянская, скорее всего, однодворческая или посадская, возникшая в XV–XVII веках, когда прозвища массово превращались в наследственные именования.