Фамилия Узьмич — редкий пример, где прозвищное имя сохранилось почти без изменений, а суффикс -ич прямо указывает на происхождение. В русской модели фамилий на -ич (как Козьмич, Фомич) обычно закреплялось отчество, но Узьмич — не от крестильного имени, а от прозвища. Основа «узьма» или «узьми» — диалектное слово, означавшее узду, сбрую, а в переносном смысле — человека, который «держит в узде», то есть строгого, властного или сдержанного.

Самый вероятный путь образования: в XV–XVII веках некоего человека прозвали Узьма или Узьмич (по действию — «уздить», управлять). Его дети стали писаться как Узьмичи, и фамилия закрепилась. Суффикс -ич в белорусской и западнорусской традиции (территории бывшего Великого княжества Литовского) часто оформлял фамилии без дополнительных -ов/-ин. Поэтому географически фамилия Узьмич тяготеет к западным областям — современной Беларуси, Смоленщине, Псковщине. В центральной России её почти не встретить: там предпочли бы форму Узьмин или Узьмов.

В ономастике известен параллельный случай: фамилия Уздич (от «узда»), но Узьмич — более редкий вариант, с чередованием «д/зь» (как «ходить — хожу»). В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» прямо не упоминается, но модель на -ич от прозвищ-существительных описана им как типичная для польско-белорусского пограничья.

Другие версии, вроде связи с тюркским «узь» (длинный) или литовским «uzmu» (брать), — натяжки: фамилия слишком органично ложится в славянскую словообразовательную рамку. Сословно Узьмичи могли быть как крестьянами (прозвище давалось за характер), так и мелкими служилыми людьми — конюхами или теми, кто ведал лошадьми. Но письменных свидетельств о дворянском роде с такой фамилией нет.

Если вы носите фамилию Узьмич, ваши предки почти наверняка жили в западной части русского ареала, а прозвище им дали за крутой нрав или за работу с конской сбруей. Других версий, подкреплённых данными, пока не существует.