Фамилия Варилиди — это прозрачный маркер греческого происхождения, и её разбор стоит начать с финального элемента. Суффикс -идис (в русифицированной форме -иди) — один из самых продуктивных в новогреческой ономастике, особенно среди фамилий, принесённых в Россию понтийскими греками в XIX–XX веках. Он выполняет ту же роль, что и русское -ов/-ев: указывает на принадлежность, родство. Буквально Варилиди — «из рода Варилиса» (или «сын Варилиса»).

Основа фамилии — греческое слово βαρύς (вари́с), то есть «тяжёлый», «грузный». Вряд ли здесь имеется в виду физический вес — скорее характер: тяжёлый на подъём, важный, серьёзный или даже суровый человек. В греческой среде такие прозвища давали не в обиду, а как характеристику нрава или социального положения. Встречается и вариант βαρύλι (вари́ли) — «бочка», но для фамилии более вероятна первая основа: Варилис — это человек с прозвищем «Тяжёлый».

Географически фамилия Варилиди почти наверняка привязана к регионам компактного проживания греков на юге России и Украины — Краснодарский край, Крым, Донбасс, а также Грузия (Цалка). В Греции такая фамилия тоже существует, но в России она закрепилась именно в среде понтийских переселенцев, бежавших из Османской империи. Фонетически она могла колебаться: в документах XIX века встречаются написания Варилиди, Варилидис, реже Вариллиди.

Сословная принадлежность носителей фамилии была разной: от крестьян и ремесленников до купцов, но единого «дворянского» статуса у Варилиди нет. В отличие от многих русских фамилий, Варилиди не меняла форму по родам — и мужчины, и женщины остаются Варилиди, что типично для фамилий на -иди. Склоняется она по правилам греческих фамилий в русском языке: «я встретил Варилиди», «книга Варилиди».

Единственный спорный момент — могла ли фамилия возникнуть от турецкого корня (в османский период греки часто заимствовали лексику), но греческая этимология здесь убедительнее: слово βαρύς общеупотребительно и сохранилось в языке с античности. Так что Варилиди — это «тяжёлый человек» из понтийского рода, чья фамилия зазвучала по-русски без перевода.