Фамилия Варюжко — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений, а суффикс указывает на конкретное географическое происхождение. Основа здесь — «варяг» (в древнерусском произношении «варягъ»). Варягами на Руси называли скандинавских воинов и купцов, чаще всего выходцев из Швеции и Норвегии, которые служили в дружинах князей или торговали по пути «из варяг в греки». Прозвище Варяг могли дать человеку за светлые волосы, суровый нрав, высокий рост или просто за связь с северными землями — реальную или вымышленную.

Фамилия образована по украинской или белорусской модели с уменьшительным суффиксом -к(о). Если бы это была великорусская фамилия, она звучала бы как Варягов или Варягин. Суффикс -к(о) характерен для западных и южных регионов бывшей Речи Посполитой — современных Украины, Беларуси, а также западных областей России. Варюжко — не «сын варяга» (как в случае с -ов), а скорее «маленький варяг» или потомок человека по прозвищу Варяг. Ударение, скорее всего, на второй слог: Варю́жко.

Интересна фонетическая деталь: переход «я» в «ю» (Варяг → Варюжко). Это не случайная ошибка, а типичное для украинского языка смягчение и лабиализация гласного под влиянием предшествующего «р». В белорусском такого перехода нет, так что фамилия уверенно тянет на украинскую основу. Встречается она преимущественно в Черниговской, Сумской и Полтавской областях, реже — на Кубани, куда переселялись казаки.

Сословного барьера фамилия не имела: Варюжками могли быть и крестьяне, и казаки, и мещане. В реестрах Запорожского войска XVII–XVIII веков встречаются прозвища того же корня — Варяг, Варяжко, — что подтверждает казачью среду бытования. Дворянских родов с такой фамилией в гербовниках нет, что тоже указывает на простонародное происхождение.

Редкость фамилии — её главная особенность. Носителей Варюжко в современной России единицы, больше всего их сохранилось на востоке Украины. Если вы встретили человека с такой фамилией, почти наверняка его предки — выходцы из казачьих или крестьянских семей левобережной Украины, а само прозвище отсылает к образу «северного чужака», который прижился в южных степях.