Фамилия Ваюцкий — редкая и неочевидная для разбора. Начать стоит с суффикса: -цк- (в форме -цкий) указывает на географическое или топонимическое происхождение. Такую фамилию обычно получал человек, владевший землёй или живший в месте с похожим названием — скорее всего, в селе или усадьбе, которая называлась Ваюки, Ваюцк или Ваюцкое. Но где искать эту основу?

Корень «Ваюц-» не встречается в современных топонимах центральной России, что наводит на мысль о западнорусском или польском следе. В польской ономастике есть фамилии с похожим звучанием — Wajc, Wajda, Wajs. Если предположить, что исходная форма была Wajucki или Wajuck, то при переходе в русскую письменность «j» могло превратиться в «ю», а «ц» остаться. Тогда основа связана с личным именем или прозвищем Waj, которое, в свою очередь, восходит к немецкому имени Wai или к диалектному польскому «waj» — «голос», «крик». Однако это лишь гипотеза.

Более вероятная версия — связь с белорусским или украинским словом «ваювати» (воевать). В таком случае Ваюцкий — это потомок человека, которого прозвали Воякой или Воином. Суффикс -цк- здесь мог быть добавлен позже, при оформлении фамилии по шляхетскому образцу: так крестьяне или мелкие служилые люди нередко «облагороживали» своё прозвище, превращая его в фамилию на -цкий. Подобный приём был распространён в Речи Посполитой, откуда фамилия могла перейти на русские земли.

Географически фамилия Ваюцкий встречается крайне редко. По данным открытых источников, единичные носители зафиксированы на юге России и в Краснодарском крае — это может говорить о переселении в XIX–XX веках. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или мещанская, но без точных метрических книг утверждать нельзя.

Таким образом, фамилия Ваюцкая — скорее всего, топонимическая или прозвищная, с польско-белорусскими корнями. Основное значение — «принадлежащий к месту Ваюки» или «потомок Вояки». Точное происхождение установить сложно из-за редкости, но ясно одно: предки носителя этой фамилии жили на западных окраинах русского мира, где смешивались языки и традиции имяобразования.