Фамилия Велюго — редкий пример того, как одно и то же слово могло вести к двум совершенно разным историям предков. В основе фамилии лежит именование Велюга, и здесь возможны два пути.

Первый и самый вероятный: Велюга — это краткая, народная форма церковного имени Вениамин. Имя древнееврейское, означает «сын любимейшей из жен». На Руси такие сокращения были обычным делом: длинные имена в быту ужимали, добавляли ласкательные или просторечные суффиксы. Вениамин превращался в Веню, Венюту, а в некоторых говорах — в Велюгу. Святой покровитель имени — мученик Вениамин, пострадавший при персидском царе Издигерде. Так что первые носители фамилии могли быть потомками человека, которого в семье и в деревне звали не полным именем, а по-домашнему — Велюга.

Вторая версия отталкивается от нарицательного «вилюга». В словаре Даля это слово означает «хромой». Соблазнительно увидеть здесь прозвище по внешнему признаку: человека могли прозвать Велюгой за хромоту. Однако тут есть тонкость: исходное слово — «вилюга», с буквой «и». Фамилия же пишется через «е» — Велюго. Возможно, это диалектное произношение или позднейшая замена гласной под влиянием письменной речи. Версия с хромотой не исключена, но менее убедительна, чем связь с именем Вениамин: слишком много однотипных фамилий образовано от сокращённых имён, и слишком редко прозвища по физическим недостаткам переживают несколько поколений в неизменном виде.

Обратите внимание на окончание «-о». Фамилии на -о (Велюго, Шевченко, Коваленко) характерны для украинской и белорусской традиции. В русской среде они, как правило, не склоняются. География подтверждает это: в документах начала XX века встречаются Велюго Адольф Иванович (1888 года рождения, деревня Шматово Полоцкого района, поляк) и Велюго Александр Андреевич (1911 года рождения, деревня Рыбаки Витебской области, белорус). Обе записи — с территории современной Беларуси, из зоны плотных польско-белорусских контактов. Так что фамилия Велюго — скорее всего, западнорусская, сформировавшаяся на землях бывшего Великого княжества Литовского.

Итог: если ваши предки носили фамилию Велюго, велика вероятность, что их родоначальника звали Вениамином, а в быту — Велюгой. Менее вероятно, но не исключено, что прозвище закрепилось за хромым человеком. В любом случае, это фамилия с чёткой географической привязкой к белорусскому северу и польскому пограничью.