Фамилия Велюга — редкий случай, когда прозвище почти полностью вытеснило крестильное имя. В основе лежит не имя, а глагол «велю» — форма первого лица единственного числа от древнерусского «велѣти» (велеть, приказывать). Суффикс -юга в восточнославянских фамилиях встречается нечасто: он придаёт слову оттенок крупного, грубого или простонародного. «Велюга» в прямом смысле — «тот, кто велит», «распорядитель», но с оттенком самоуправства или шутливого намёка на человека, который любит командовать.

Словообразовательная модель проста: личная глагольная форма превратилась в прозвище, а затем закрепилась как фамилия без типичных суффиксов -ов, -ин или -ский. Такие «чистые» фамилии-прозвища (типа Нечай, Плакса, Велюга) чаще всего возникали в среде крестьян и казаков, где меткое слово прирастало к человеку быстрее, чем официальная запись. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским землям: в реестрах Войска Запорожского XVII–XVIII веков встречаются прозвища с корнем вел- (Велик, Величко), но форма Велюга — более редкая и могла принадлежать одному из родовых прозвищ черниговского или полтавского региона.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от тюркского «велюг» (большой, крупный). Но она не выдерживает проверки фонетикой: в тюркских языках нет перехода «г» в «ю» в этой позиции, а славянский глагольный корень объясняет форму проще и надёжнее. К тому же в русских говорах бытовало слово «велюга» в значении «упрямец» или «зазнайка» — это прямое подтверждение прозвищного происхождения.

Сословная принадлежность носителей, скорее всего, крестьянская или казацкая. Дворянских родов Велюга не зафиксировано, а в ревизских сказках XIX века фамилия встречается единично, в основном в Курской и Харьковской губерниях. Сегодня Велюга остаётся редкой фамилией — её носителей можно пересчитать по пальцам, и почти все они живут на юге России и востоке Украины.