Фамилия Веремийченко — характерный пример украинской модели фамилий на -енко, самой распространённой в этой традиции. Суффикс -енко исторически означал «маленький», «сын» или «потомок» (сравните с современным «щенок»), то есть Веремийченко — буквально «потомок Веремия». Это указывает на то, что основатель рода носил имя Веремий.

Имя Веремий — это народная, обиходная форма канонического церковного имени Иеремия (древнееврейское «Йирмеяху» — «возвышенный Богом», «Бог возвеличит»). В украинской среде звук «И» в начале слова часто переходил в «В» (так появились Веремія, Веремій, а также фамилии Веремчук, Веремейчик). Имя было популярно среди крестьян и казачества, поэтому фамилия распространена в центральной и восточной Украине, а также в южных областях России, куда шли миграционные потоки.

Менее вероятна, но возможна связь с прозвищем Веремий от глагола «веремить» — в некоторых говорах так говорили о человеке, который суетится, делает что-то быстро и беспорядочно, или же о том, кто «верещит», то есть громко кричит. Однако в случае с фамилией на -енко первичным почти всегда оказывается крестильное имя, а не прозвище: суффикс -енко в первую очередь присоединяли к именам, а не к бытовым характеристикам.

С точки зрения социальной истории, Веремийченко — фамилия преимущественно крестьянская и казацкая. В реестрах Войска Запорожского XVII–XVIII веков встречаются носители имени Веремий, и их потомки, получив фамилию по отцу, закрепили её в среде сельских общин. Дворянской ветви у этой фамилии, скорее всего, не было — она оставалась фамилией простого люда, что подтверждает и её «сыновний» суффикс: он указывает на родовую связь, а не на сословную принадлежность.

Таким образом, Веремийченко — это типичная украинская патронимическая фамилия, образованная от имени Иеремия в его народном варианте Веремий. Если ваш предок носил такую фамилию, он с высокой вероятностью был выходцем из украинских земель, а его прямой предок по мужской линии звался Веремием.