Фамилия Веремиенко — это классический пример украинской фамилии, образованной по патронимической модели с помощью суффикса -енко. В украинской ономастике этот суффикс — самый распространённый маркер, означающий «потомок» или «сын». Буквально Веремиенко — это «сын Веремия». В основе фамилии лежит редкая народная форма Веремий, которая восходит к крестильному имени Иеремия (от древнееврейского «Яхве возвысит»). В украинской и белорусской среде имя Иеремия часто трансформировалось в Еремей, Ярема, а форма Веремий — это результат местного диалектного произношения, где начальное «и» могло переходить в «ве» или «ви».

Географически фамилия Веремиенко тяготеет к центральным и восточным областям Украины, особенно к Черкасской, Полтавской и Сумской областям. В XIX веке носители фамилии числились преимущественно в среде крестьян и казаков. В сословном плане фамилия не несёт аристократического оттенка — суффикс -енко в малороссийской традиции был универсальным для всех слоёв, но особенно массово встречался среди сельского населения.

Интересно, что в русских переписях фамилия иногда записывалась как Веремеенко или Веремиенков — последняя форма возникала при русификации окончания, когда к украинской основе добавляли русский суффикс -ов. Но исконный вариант Веремиенко сохранился именно в украинской среде. Встречается также вариант Веремей, который стал основой для фамилий Веремеенко и Веремейчук.

Таким образом, Веремиенко — это фамилия-отчество, которая прямо указывает на имя предка по мужской линии. Если ваш предок носил её, он, скорее всего, был выходцем из украинского села, а его отца или деда звали Веремием — народной формой библейского Иеремии.