Фамилия Веревочникова — женская форма от Веревочников, а та, в свою очередь, образована от прозвища или профессионального названия Веревочник. Основа здесь прозрачна: «верёвка». Человек, делавший верёвки или торговавший ими, в старину так и назывался — веревочник. В русских говорах слово бытовало повсеместно: веревочником называли мастера, который вил верёвки и канаты. Это ремесло было востребованным — верёвки нужны были и в крестьянском хозяйстве, и на судах, и в извозе.

Модель образования типична для русских фамилий: сначала появилось прозвище Веревочник, затем от него через притяжательный суффикс -ов образовалась фамилия Веревочников (чей? — сын Веревочника), а уж потом — женский вариант на -а. Такая цепочка — одна из самых распространённых в русской ономастике, и фамилия Веревочникова в этом ряду стоит рядом с другими «ремесленными» фамилиями: Пряничников, Калачников, Свечников.

Интересно, что, в отличие от фамилий на -ов/-ев, где основа часто оказывается неясной из-за устаревших слов, здесь корень «веревк-» сохранился в языке без изменений. Однако в диалектах встречались варианты: «верёвка» звучала и как «веревь», и как «верёвье». Поэтому в некоторых регионах Веревочникова могла возникнуть параллельно с фамилией Веревьев или Верёвкин, но с другим суффиксом — не -ин, а -ов. Географически фамилия не привязана к одной области: веревочные промыслы были развиты и на севере, и в центральной России, и на Волге. Документальных свидетельств о конкретном родоначальнике нет, но, судя по словообразованию, носитель фамилии был человеком незнатного происхождения — скорее всего, посадским или крестьянином, зарабатывавшим на жизнь своим ремеслом.

Встречаются и другие версии, но они слабы. Например, что основа — не «верёвка», а личное имя Веревка (как прозвище худого или длинного человека). Такие прозвища действительно давали, но в случае с суффиксом -ник (Веревочник) профессиональное значение перевешивает: суффикс -ник в русском языке почти всегда указывает на деятеля, а не на обладателя признака. Так что наиболее правдоподобно — ремесленная, «верёвочная» история.